微分積分⑳ ベータ関数
ベータ関数の公式と導出
この記事は広義積分とガンマ関数のある程度の理解を前提として書いています。ベータ積分公式一覧
以下、$x,y$$\in \mathbb{R}$とします。ベータ関数を$x,y$$\gt0$に対して
\begin{align*}
B(x,y)=\int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt
\end{align*}
に対して、以下の式が成り立ちます。
\begin{align}
B(x,y)&=B(y,x) \label{eq:1} \\
B(x,y)&=B(x+1,y)+B(x,y+1) \label{eq:2} \\
(x+y)B(x,y+1)&=yB(x,y) \\
\end{align}
(1)式の導出
\begin{align*}
B(x,y)=B(y,x)
\end{align*}
を示します。左辺の
\begin{align*}
B(x,y)=\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt
\end{align*}
について、$1-t$$=s$とおいて置換積分を行いましょう。$dt$$=-ds$であり、$s$での積分範囲は$1$$\to 0$になります。
\begin{align*}
B(x,y)
&=\int_1^0 (1-s)^{x-1}s^{y-1}(-ds) \\
&=\int_0^1 s^{y-1}(1-s)^{x-1}ds \\
&=B(y,x)
\end{align*}
(2)式の導出
\begin{align*}
B(x,y)=B(x+1,y)+B(x,y+1)
\end{align*}
を示します。右辺から左辺を示すほうがやりやすいので右辺から始めます。
\begin{align*}
B(x+1,y)+B(x,y+1)
&=\int_0^1 t^{(x-1)+1}(1-t)^{y-1}dt+\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{(y-1)+1}dt \\
&=\int_0^1 \left\{t^x(1-t)^{y-1}+t^{x-1}(1-t)^y\right\}dt \\
&=\int_0^1 \left\{t+(1-t)\right\}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt \\
&=\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt \\
&=B(x,y)
\end{align*}
(3)式の導出
\begin{align*}
(x+y)B(x,y+1)=yB(x,y)
\end{align*}
を示します。左辺を変形していきましょう。途中、一つ目の積分で部分積分を実行しています。$x,y$$\gt 0$なので、$0^x$$=0$,$0^y$$=0$
\begin{align*}
(x+y)B(x,y+1)
&=(x+y)\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y}dt \\
&=x\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y}dt+y\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y}dt \\
&=\int_0^1 \dfrac{d}{dt}(t^x)(1-t)^{y}dt+y\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^ydt \\
&=\left.t^x(1-t)^y\right|^1_0-\int_0^1 (-y)t^x(1-t)^{y-1}dt+y\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^ydt \\
&=y\int_0^1 t^x(1-t)^{y-1}dt+y\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^ydt \\
&=y\int_0^1\left\{t+(1-t)\right\}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt \\
&=y\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt \\
&=yB(x,y)
\end{align*}
これで証明終了です。