微分積分⑦ ロピタルの定理
ロピタルの定理の証明
コーシーの平均値の定理を用いてロピタルの定理の証明を書きます。前提条件：コーシーの平均値の定理
コーシーの平均値の定理
$f,g$を閉区間$[a,b]$で連続かつ$(a,b)$で微分可能な関数とする。また、$g^\prime(x)\ne 0$($a \lt$$x$$\lt b$),$g(a)$$\ne$$g(b)$とする。
\begin{align*}
\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f^\prime(c)}{g^\prime(c)}
\end{align*}
を満たす$c$が存在する。
ロピタルの定理の内容
0/0形のロピタルの定理
$f,g$を$\gamma \gt 0$に対して、$a-\gamma\lt x\lt a$,$a\lt x \lt a+\gamma$の区間で微分可能な関数とする。ただし、$g^\prime(x)\ne 0$とする。
\begin{align*}
\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0
\end{align*}
とする。このとき、
\begin{align*}
\lim_{x\to a}\dfrac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}
\end{align*}
が存在するならば、
\begin{align*}
\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\dfrac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}
\end{align*}
0/0の形のロピタルの定理の証明
$x=a$で関数$f(x)$が極限が存在するとは、\begin{align*}
\lim_{x\uparrow a}f(x)=\lim_{x\downarrow a}f(x)
\end{align*}
ということでした。ちなみに左辺は左側極限、右辺は右側極限を表します。両側からの極限が一致するということです。今回は左側と右側の極限を別々に証明していきます。
右側極限の証明
$\gamma \gt 0$に対して、$a \lt $$x$$\lt a+\gamma$の区間を考えます。この区間では仮定より$f$,$g$は連続かつ微分可能な状態で定義されています。いまから、コーシーの平均値の定理を用いたいのですが、それには条件が足りなくて、考えている区間が閉区間でないとコーシーの平均値の定理が使えないのでした。つまり、改めて閉区間となるような区間に考え直す必要があります。
いま、仮定として
\begin{align*}
\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0
\end{align*}
という条件を設定していました。これをもとに、$f(a)$$=0$,$g(a)$$=0$と定義します。また、こうすると、関数$f$,$g$は、$a\leq $$x$$\lt a+\gamma$で定義されます。また、この範囲にあるの任意の$x$に対して、$[a,x]$という閉区間を考えれば、$[a,x]で$$f$,$g$は連続で、$(a,x)$で微分可能になります。
よって、コーシーの平均値の定理から、
\begin{align*}
\dfrac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\dfrac{f^\prime(c)}{g^\prime(c)}, (a\lt c\lt x)
\end{align*}
を満たす$c$が存在することになります。また、$f(a)$$=g(a)$$=0$と定義していたので、
\begin{align*}
\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f^\prime(c)}{g^\prime(c)}, (a\lt c\lt x)
\end{align*}
となります。いま、$x\downarrow a$を考えると、はさみうちの原理から$c$$\downarrow a$となるはずです。よって、右辺の$c$も$x$に置き換えたうえで書き直すと、
\begin{align*}
\lim_{x\downarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\downarrow a}\dfrac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}
\end{align*}
これで右側極限の場合が示せました。左側極限の場合もほぼ同じです。これでロピタルの定理が0/0の不定形の場合に対して示せました。
無限大での極限に関するロピタルの定理の証明
先ほど紹介したロピタルの定理で$a$を$\infty$とした場合の話です。$x\to \infty$の場合のロピタルの定理
$x\geq a$で連続で、$x\gt$$a$で微分可能な$f,g$を考える。ただし、$g^\prime(x)$$\ne 0$とする。
\begin{align*}
\lim_{x\to \infty}f(x)=\lim_{x\to \infty}g(x)=0
\end{align*}
とする。このとき、
\begin{align*}
\lim_{x\to \infty}\dfrac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}
\end{align*}
が存在するならば、
\begin{align*}
\lim_{x\to \infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to \infty}\dfrac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}
\end{align*}
\begin{align*}
f\left(\dfrac{1}{t}\right)=F(t)
\end{align*}
とおくと、
\begin{align*}
\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{t\downarrow 0}f\left(\dfrac{1}{t}\right)=\lim_{t\downarrow 0}F(t)=0
\end{align*}
となります。同様に、
\begin{align*}
g\left(\dfrac{1}{t}\right)=G(t)
\end{align*}
とおくと、
\begin{align*}
\lim_{t\downarrow 0} G(t)=0
\end{align*}
となります。また、
\begin{align*}
\dfrac{F^\prime(t)}{G^\prime(t)}
&=\dfrac{\dfrac{d}{dt}f\left(\dfrac{1}{t}\right)}{\dfrac{d}{dt}g\left(\dfrac{1}{t}\right)} \\
&=\dfrac{-\dfrac{1}{t^2}f^\prime\left(\dfrac{1}{t}\right)}{-\dfrac{1}{t^2}g^\prime \left(\dfrac{1}{t}\right)} \\
&=\dfrac{f^\prime \left(\dfrac{1}{t}\right)}{g^\prime\left(\dfrac{1}{t}\right)}
\end{align*}
極限を取ると、
\begin{align}
\lim_{t\downarrow 0}\dfrac{F^\prime(t)}{G^\prime(t)}=\lim_{t\downarrow 0}\dfrac{f^\prime \left(\dfrac{1}{t}\right)}{g^\prime\left(\dfrac{1}{t}\right)}=\lim_{x\to \infty }\dfrac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} \label{eq:1}
\end{align}
仮定より、一番右の極限は存在します。よって、
\begin{align*}
\lim_{t\downarrow 0}\dfrac{F^\prime(t)}{G^\prime(t)}
\end{align*}
も存在します。以上より、0/0のロピタルの定理の右側極限の証明で示した内容が使えて、
\begin{align*}
\lim_{t\downarrow 0}\dfrac{F^\prime(t)}{G^\prime(t)}
=\lim_{t\downarrow 0}\dfrac{F(t)}{G(t)}
\end{align*}
つまり、\eqref{eq:1}より、
\begin{align*}
\lim_{x\to\infty} \dfrac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}
\end{align*}
これで無限大の極限の場合も示せました。