ベクトル解析⑫ ストークスの定理
ストークスの定理の証明・グリーンの定理との関係
ストークスの定理とは?
ストークスの定理の示す内容
ストークスの定理
ベクトル値関数$\boldsymbol{F}(x,y,z)$について、単純閉曲線(自信と交わらない曲線)$C$と$C$が囲む領域$S$について、
\begin{align*}
\iint_S (\nabla\times \boldsymbol{F})\cdot\boldsymbol{n}dS=\oint_C \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}
\end{align*}
\begin{align*}
\boldsymbol{F}=
{}^t
\begin{pmatrix}
F_x & F_y & F_z
\end{pmatrix}
\end{align*}
とします。
ストークスの定理の直感的理解
証明というほど厳密に書くと読むのが大変なので、直感的な説明(おおざっぱな説明?)を紹介します。 ベクト$\boldsymbol{F}$の回転は、\begin{align*}
\nabla\times\boldsymbol{F}=
{}^t
\begin{pmatrix}
\dfrac{\partial F_z}{\partial y}-\dfrac{\partial F_y}{\partial z} & \dfrac{\partial F_x}{\partial z}-\dfrac{\partial F_z}{\partial x} & \dfrac{\partial F_y}{\partial x}-\dfrac{\partial F_x}{\partial y}
\end{pmatrix}
\end{align*}
となります。面$S$として、\(x^\prime\)～\(x^\prime+\Delta x\),\(y^\prime\)～\(y^\prime+\Delta y\)という面積$\Delta x\Delta y$の面を採用すると、$\boldsymbol{n}$$=\boldsymbol{e}_z$($z$軸方向の単位ベクトル)となり、
\begin{align*}
\iint_S \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}dS=\int_{x^\prime}^{x^\prime+\Delta x}\int_{y^\prime}^{y^\prime+\Delta y}\left(\dfrac{\partial F_y}{\partial x}-\dfrac{\partial F_x}{\partial y}\right)dxdy
\end{align*}
この右辺をグリーンの定理により変形すると、(参考:グリーンの定理)
\begin{align*}
\iint_S \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}dS=\oint_C(F_xdx+F_ydy)
\end{align*}
が示せます。これを$xy$平面だけでなく、$yz$平面や$zx$平面にも適用してもおなじようにできます。