ベクトル解析⑨ 体積分
体積分の計算方法とは?
この記事では体積分を扱いますが、面積分(球の面積の公式の導出)で紹介したような面積素を求めるような複雑な計算はあまりなく、ただの逐次積分で処理するのが一般的です。また、ベクトル値関数の体積分というのも聞いたことはないです。
スカラー値関数の体積分
体積分の計算方法
体積分
スカラー値関数$f(x,y,z)$について、
\begin{align*}
\iiint_V f(x,y,z)dxdydz
\end{align*}
を体積分といいます。3次元という意味で積分記号を3つつけています。
体積分の計算例題～球の体積～
半径$a$の球を$V$として、この$V$上で$f=1$という関数を体積分して体積を求めましょう。ヤコビアンの計算
以下のように球座標に変換します。
\begin{align*}
x&=r \sin{\theta}\cos{\phi}\\
y&=r \sin{\theta}\sin{\phi}\\
z&=r \cos{\theta}
\end{align*}
このときのヤコビアンは、(参考:逐次積分とヤコビアン)
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
\dfrac{\partial x}{\partial r}&\dfrac{\partial x}{\partial \theta}&\dfrac{\partial x}{\partial \phi}\\
\dfrac{\partial y}{\partial r}&\dfrac{\partial y}{\partial \theta}&\dfrac{\partial y}{\partial \phi}\\
\dfrac{\partial z}{\partial r}&\dfrac{\partial z}{\partial \theta}&\dfrac{\partial z}{\partial \phi}\\
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
\sin{\theta}\cos{\phi} & r\cos{\theta}\cos{\phi} & -r\sin{\theta}\sin{\phi}\\
\sin{\theta}\sin{\phi} & r\cos{\theta}\sin{\phi} & r\sin{\theta}\cos{\phi}\\
\cos{\theta} & -r\sin{\theta} & 0
\end{vmatrix}\\
\end{align*}
これをサラスの方法で計算すると、
\begin{align*}
&
r^2\sin^3{\theta}\sin^2{\phi}+r^2\sin{\theta}\cos^2{\theta}\cos^2{\phi}+r^2\sin{\theta}\cos^2{\theta}\sin^2{\phi}+r^2\sin^3{\theta}\cos^2{\phi}\\
&=
r^2\sin^3{\theta}(\sin^2{\phi}+\cos^2{\phi})+r^2\sin{\theta}\cos^2{\theta}(\sin^2{\phi}+\cos^2{\phi})\\
&=r^2\sin^3{\theta}+r^2\sin{\theta}\cos^2{\theta}\\
&=r^2\sin{\theta}(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta})\\
&=r^2\sin{\theta}\\
\end{align*}
となり、微小素片の関係は、
\begin{align*}
dxdydz=r^2\sin{\theta}\ drd\theta d\phi
\end{align*}
体積分を実行する
$(x,y,z)$を$(r,\theta,\phi)$に変数変換したわけですが、各変数が動く範囲が、\begin{align*}
0 &\leq r \leq a \\
0 &\leq \theta \leq \pi \\
0 &\leq \phi \leq 2\pi
\end{align*}
となります。よって、求める体積分は、
\begin{align*}
\iiint_V dxdydz
&=\iiint_V r^2\sin{\theta}drd\theta d\phi \\
&=\int_0^a r^2dr \int_0^\pi \sin{\theta}d\theta \int_0^{2\pi} d\phi \\
&=\dfrac{a^3}{3}\cdot 2\cdot 2\pi \\
&=\dfrac{4}{3}\pi a^3
\end{align*}
というようになります。
ガウスの発散定理で面積分にする
こうやって簡単な関数でないと、うまく計算できないのです。そこでガウスの発散定理を用いることができます。ガウスの発散定理
空間$V$、その空間を囲む面$\partial V$とベクトル値関数$\boldsymbol{F}$について、
\begin{align*}
\iiint_V \nabla\cdot\boldsymbol{F}dxdydz=\iint_{\partial V}\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}dS
\end{align*}
という関係があります。