電磁気学⑥ ビオ・サヴァールの法則
ビオ・サヴァールの法則を導出
Biot-Savartの法則は、電流があると、磁束密度が存在するという内容です。これもMaxwell方程式から導出可能です。ビオ・サバールの法則の内容
ビオ・サバ―ルの法則
電流$I$が流れる位置$\boldsymbol{r}^\prime$の微小部分$d\boldsymbol{s}$が位置$\boldsymbol{r}$につくる磁場は，
\begin{align}
d\boldsymbol{B}=\dfrac{\mu I\ d\boldsymbol{s}\times(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime)}{4\pi |\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime|^3} \label{eq:1}
\end{align}
マクスウェル方程式からの導出
導出に必要な方程式は?
さて，実はこの式もマクスウェル方程式から導けます。方針はクーロンの法則を導出したときとほぼ同じです。ただし，ベクトルポテンシャル，スカラーポテンシャルなどの難しい話を経由します。電磁ポテンシャルの記事も参考にどうぞ。以下のMaxwell方程式のうちのひとつを用います。$\boldsymbol{B}$を用いたいので、これを含むように透磁率$\mu$を用いて書いておきます。
\begin{align}
\nabla\times\boldsymbol{B}&=\mu\boldsymbol{j}+\mu \dfrac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t} \label{eq:2}
\end{align}
ここで，
\begin{align}
\boldsymbol{E}&=-\nabla\phi-\dfrac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t} \\
\boldsymbol{B}&=\nabla\times\boldsymbol{A} \label{eq:4}
\end{align}
となります。
ゲージ条件を定める
クーロンゲージ\begin{align}
\nabla\cdot\boldsymbol{A}=0 \label{eq:5}
\end{align}
を用います。このゲージ条件というのはベクトルポテンシャルがもっている冗長な成分を固定するためであって、磁束密度に対して制約はかからないので、一般性は失われていません。任意のベクトル$\boldsymbol{F}$に対して成り立つ恒等式
\begin{align}
\nabla\times(\nabla\times \boldsymbol{F})=\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{F})-\nabla^2\boldsymbol{F}
\end{align}
を用いて，\eqref{eq:4},\eqref{eq:5}より、磁束密度の回転は、
\begin{align*}
\nabla\times \boldsymbol{B}
&=\nabla\times(\nabla\times \boldsymbol{A}) \\
&=\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{A})-\nabla^2\boldsymbol{A} \\
&=-\nabla^2 \boldsymbol{A}
\end{align*}
また、\eqref{eq:2}の左辺も磁束密度の回転になります。電束密度$\boldsymbol{D}$の時間変化がないとすれば、
\begin{align*}
\nabla^2\boldsymbol{A}=-\mu\boldsymbol{j}
\end{align*}
となります。ところで，この解はクーロンの法則の導出とおなじように導くことができて，
\begin{align*}
\boldsymbol{A}=\dfrac{\mu}{4\pi}\int_{\text{全空間}}\dfrac{\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r}^\prime)}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime|}d^3\boldsymbol{r}^\prime
\end{align*}
この辺々の回転を取ることで，
\begin{align*}
\boldsymbol{B}&=\nabla\times\boldsymbol{A}=\dfrac{\mu}{4\pi}\int_{\text{全空間}}\dfrac{\boldsymbol{j}(\boldsymbol{r}^\prime)\times (\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime)}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime|^3} d^3\boldsymbol{r}^\prime
\end{align*}
特に，電流の流れる線の太さを無視して、また、$x$軸方向に流れる電流を考えると、電流密度を$I\delta(y-y^\prime)\delta(z-z^\prime)$のように表せば，
\begin{align*}
\boldsymbol{B}=\dfrac{\mu}{4\pi}\int_{\text{全ての$x$}}\dfrac{I\ d\boldsymbol{x^\prime} \times (\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime)}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime|^3}
\end{align*}
となります。つまり一般に電流が流れている方向を微小ベクトル量$d\boldsymbol{s}$として微小量に直すと、
\begin{align}
d\boldsymbol{B}=\dfrac{\mu I\ d\boldsymbol{s}\times (\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime)}{4\pi|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}^\prime |^3} \tag{\ref{eq:1}}
\end{align}
ということです。最後にあえて微小量の式を導出しましたが、この式から積分を計算してはじめて有効な値が出てきます。
円電流が作る磁場の計算例
計算例として真空中で電流の大きさ$I$の円電流が$z$軸上につくる磁束密度を計算します。$xy$平面上で原点中心の半径$\rho$の円を考えます。このとき、円電流上の各点の位置ベクトルは\begin{align*}
\boldsymbol{r^\prime}=
\begin{pmatrix}
\rho \cos{\phi} \\
\rho \sin{\phi} \\
0
\end{pmatrix}
\end{align*}
となります。つまり、このベクトルの微小変化は、
\begin{align*}
d \boldsymbol{r^\prime}=
\begin{pmatrix}
-\rho \sin{\phi} \ d\phi \\
\rho \cos{\phi} \ d\phi\\
0
\end{pmatrix}
\end{align*}
また、$z$軸上の点は、
\begin{align*}
\boldsymbol{r}=
\begin{pmatrix}
0\\
0 \\
z
\end{pmatrix}
\end{align*}
と表されます。よって、
\begin{align*}
\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^\prime}=
\begin{pmatrix}
-\rho \cos{\phi} \\
-\rho \sin{\phi} \\
r
\end{pmatrix} \\
|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^\prime}|=\sqrt{\rho^2+z^2}
\end{align*}
よって、$z$軸上につくる磁束密度は、
\begin{align*}
\boldsymbol{B}&=\int d\boldsymbol{B}\\
&=\dfrac{\mu_0 I}{4\pi (\rho^2+z^2)^\frac{3}{2}} \int_0^{2\pi}
\begin{pmatrix}
-\rho \sin{\phi} d\phi \\
\rho \cos{\phi} d\phi\\
0
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
-\rho \cos{\phi}\\
-\rho \sin{\phi} \\
z
\end{pmatrix} \\
&=
\dfrac{\mu_0 I}{4\pi(\rho^2+z^2)^\frac{3}{2}} \int_0^{2\pi}
\begin{pmatrix}
\rho z \cos{\phi} \\
\rho z \sin{\phi}\\
\rho^2
\end{pmatrix}d\phi
\\
&=\dfrac{\mu_0 I}{4\pi(\rho^2+z^2)^\frac{3}{2}}
\begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 2\pi \rho^2
\end{pmatrix}\\
&=\dfrac{\mu_0 I\rho^2}{2(\rho^2+z^2)^\frac{3}{2}}\boldsymbol{e_z}
\end{align*}
特に、$z=0$のときは、
\begin{align}
\boldsymbol{B}=\dfrac{\mu_0 I}{2\rho}
\end{align}
となります。
無限に長い直線電流が作る磁場の計算例
真空中で$z$軸の正方向に無限に長い直線電流$I$が流れているとしましょう。Biot-Savartの法則より、位置$\boldsymbol{r^\prime}$$=$$z\boldsymbol{e_z}$の電流が位置$\boldsymbol{r}$につくる微小の磁束密度は、\begin{align*}
d\boldsymbol{B}=\dfrac{\mu_0I\ dz\ \boldsymbol{\boldsymbol{e_z}}\times (\boldsymbol{r}-z\boldsymbol{e_z})}{4\pi |\boldsymbol{r}-z\boldsymbol{e_z}|^3}
\end{align*}
い$\boldsymbol{e_z}$は$z$軸正方向の単位ベクトルです。ここでは、$z=0$の平面につくる磁束密度を考えることにします。つまり、
\begin{align*}
\boldsymbol{r}&=x\boldsymbol{e_x}+y\boldsymbol{e_y} \\
\boldsymbol{r^\prime}&=z\boldsymbol{e_z}
\end{align*}
ということです。
\begin{align*}
\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^\prime}=
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
-z
\end{pmatrix}
\end{align*}
なので、
\begin{align*}
|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r^\prime}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}
\end{align*}
つまり、微小な磁束密度は、以下のようになります。
\begin{align*}
d\boldsymbol{B}&=\dfrac{\mu_0 I}{4\pi(x^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2}}
\begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ dz
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
x \\ y\\ -z
\end{pmatrix} \nonumber
\\
&=\dfrac{\mu_0 I}{4\pi(x^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2}}
\begin{pmatrix}
-y\ dz\\
x\ dz \\
0
\end{pmatrix}
\end{align*}
さて、電流は$z$軸に無限に広がっているので、
\begin{align}
\boldsymbol{B}&=\int_{-\infty}^\infty \dfrac{\mu_0 I}{4\pi (x^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2}}
\begin{pmatrix}
-y \\
x \\
0
\end{pmatrix}dz \nonumber \\
&=
\dfrac{\mu_0 I}{4\pi}\begin{pmatrix} -y \\ x \\ 0\end{pmatrix} \int_{-\infty}^\infty \dfrac{1}{(x^2+y^2+z^2)^\frac{3}{2}} \label{eq:9}
\end{align}
ここで、後半の積分を計算します。対称性からもわかりますが、結果は半径にのみ依存することになるので、$\rho=\sqrt{x^2+y^2}$として計算します。
\begin{align*}
\int_{-\infty}^\infty \dfrac{1}{(\rho^2+z^2)^\frac{3}{2}}dz
\end{align*}
ここで、$z=\rho\tan{\theta}$として、置換します。$dz=\dfrac{\rho}{\cos^2{\theta}}d\theta$
\begin{align*}
\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2} \dfrac{1}{\left(\rho^2\frac{1}{\cos^2{\theta}}\right)^\frac{3}{2}}\dfrac{\rho}{\cos^2{\theta}} d\theta
&=\dfrac{1}{\rho^2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2} \cos{\theta}d\theta \\
&=\dfrac{2}{\rho^2}
\end{align*}
この計算結果を\eqref{eq:9}に代入すると、
\begin{align}
\boldsymbol{B}= \dfrac{\mu_0 I}{2\pi\rho^2}\begin{pmatrix} -y \\ x \\ 0\end{pmatrix}
\end{align}
実は、これは円筒座標で書くほうが適切で、$x=\rho\cos{\phi}$,$y=\rho\sin{\phi}$と書き直して、
\begin{align}
\boldsymbol{B}=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi\rho}\begin{pmatrix} -\sin{\phi} \\ \cos{\phi} \\ 0\end{pmatrix}
\end{align}
後ろにつけたベクトルは単位ベクトルになり、さらにこの向きは半径$\rho$の円弧に沿った向きです。よって、これでいわゆる右ねじの法則が導けたわけですね。