線形代数⑱ 2次形式
2次形式とは?その利点は?
2次形式で表すと直交行列で対角化ができ、座標変換がしやすくなります。 (参考:対角化、直交行列による上三角化)2次形式とは?
2次形式
$n$変数の二次式を行列で表したものを二次形式といいます。
\begin{align*}
\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j
\begin{pmatrix}
x_1 & x_2 &\cdots & x_n
\end{pmatrix}
A
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ \cdots \\ x_n
\end{pmatrix}
\end{align*}
\begin{align*}
\boldsymbol{x}_n=
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n
\end{pmatrix}
\end{align*}
とします。
二次形式で表す例題
\begin{align*}
P(x)=x_1^2+2x_2^2-x_3^2+4x_1x_2-6x_2x_3+2x_3x_1
\end{align*}
これを二次形式で表しましょう。$x^2_i$の項は対角成分になるので、そのまま用いればよいです。$x_1x_2$の項は係数を半分ずつ$(1,2)$と$(2,1)$の成分に分けてあげます。$x_2x_3$の項や$x_3x_1$の項も同様で、
\begin{align*}
P(x)={}^t \boldsymbol{x}_3A\boldsymbol{x}_3,\ A=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1\\
2 & 2 & -3 \\
1 & -3 & -1
\end{pmatrix}
\end{align*}
となります。
二次形式で表す利点
二次形式で表すと行列$A$が対角行列になることが利点です。この時の最大の利点は、対角行列は直交行列で対角化が可能になので、座標変換に役立ちます。希ガス結晶の相互作用という固体物理の記事でこれを利用して座標変換を行っています。