測度論① ディリクレ関数
ルベーグ積分につながるディリクレ関数の定義
ディリクレ関数とは
$x\in[0,1]$に対して、\begin{align*}f(x)=\left\{\begin{array}{p}1\ \ (x\in \mathbb{Q})\\ 0\ \ (x\notin \mathbb{Q}) \end{array}\right.\end{align*}
ちなみに、$\mathbb{Q}$は有理数全体の集合です。
つまり、$x$が有理数なら1, $x$が無理数なら0です。
本当にそんなの存在する？ってなるけど実は存在します。
整数$m,k$に対して
\begin{align*}\displaystyle \lim_{m\to\infty}\lim_{k\to\infty}\cos^{2k}{(m!\pi x)}\end{align*}
これです。え、なんで？って思われそうなので説明しますね。
まず、自然数$n$に対して、$\cos{n\pi}=\pm{1}$となります。
つまり、$m!x$が整数となればこの極限は1になるわけです。
$m\to\inftyで、m!x$が整数となる条件は何でしょうか？ それが、「$x$が有理数であること」です。
有理数とは...整数の分数（整数÷整数）であらわされる数ですね。（もちろん分母は0以外です）
ここで、$m!はm$以下のすべての自然数を因数に持ちますね。 つまり、$m$をとてつもなく大きくすれば、$x$が有理数なら、$x$の分母が$m$以下、つまり、$x$の分母が$m!$と約分できます。 つまり、$m!x$は整数の積になります。つまり、整数です。 よって、極限は$x$が有理数のときに１です。
では、「$x$が無理数のとき$m!x$は必ず整数にならない」ということになります。 たとえば、$\sqrt{2}$はどうでしょう？ これを整数倍して整数にできますか？？これは無理な話です(笑) 無限桁の数を何倍しても整数になるわけないですね。
ディリクレ関数の性質・実数全体で不連続とは
・ディリクレ関数はすべての実数に対して不連続
これは$\varepsilon -\delta$論法を使おうとすると、どうしようもできないのです。。。不連続です。$\varepsilon-\delta$論法に関しては以下のページで。
・リーマン積分不可能
リーマン積分（普段使っているような積分だと思ってくれていいです。）はできません。不連続ですから...