らむねの物理法則

調和振動子とは?エルミート多項式の利用 この調和振動子の解析自体はあまり重要ではないかもしれませんが、このエネルギー固有値はたびたび使うことになります。 ハミルトニアン中の物理量の演算子化をする この先最もよく使うであろう調和振動子についてまとめておきます。調和振動子とは単振動をしている粒子のモデルです。一次元では、全エネルギーは、 \begin{align*} \dfrac{p^2}{2m}+\dfrac{1}{2}m\omega^2x^2 \end{align*} と表せます。ここで、演算子の対応関係 \begin{align*} \hat{p}=-i\hbar\dfrac{d}{d x} \end{align*} を用いるとシュレディンガー方程式は、 \begin{align*} \left(-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{d^2}{d x^2}+\dfrac{1}{2}m\omega^2x^2\right)\psi(x)=E\psi(x) \end{align*} と表されます。ただし、実は$x$も演算子としてみるべきですが、$x$のままなので大丈夫です。 シュレディンガー方程式を無次元化して変数変換する ここで、変数変換を行って簡単な係数になるように整理してみましょう。辺々の次元を無次元にするような変形を考えましょう。右辺の係数はエネルギー$E$なので、エネルギーの次元を持つ$\hbar\omega$でわって、ついでに係数も調節すると、 \begin{align} \dfrac{\hbar}{m\omega}\dfrac{d^2\psi(x)}{dx^2}-\dfrac{m\omega}{\hbar}x^2\psi(x)+\dfrac{2E}{\hbar\omega}\psi(x)=0 \label{eq-quantum7:1} \end{align} ここで、 \begin{align} \xi&=\sqrt{\dfrac{m\omega}{\hbar}}x \label{eq-quantum7:2}\\ \lambda&=\dfrac{2E}{\hbar\omega} \label{eq-quantum7:3} \end{a

エネルギーの離散化・量子化 ポテンシャルとして両端に無限大のポテンシャルを設定すると、ポテンシャルの内側でエネルギーがとびとびの値、離散的な値的になるということが導けます。一番簡単な例ですが、量子力学らしい性質が出てきます。 無限の深さの井戸型ポテンシャルを用意する 一次元の時間に依存しないシュレディンガー方程式 \begin{align} \left\{-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{d^2}{d x^2}+V(x)\right\}\psi(x)=E\psi(x) \label{eq-quantum5:1} \end{align} をポテンシャル $$V(x)=\left\{ \begin{align*} & 0 & &(0\lt x \lt d)\\ & \infty & & (x\leq 0,d\leq x) \end{align*} \right.$$ に対して解くことを考えます。 ポテンシャル零の自由領域 この範囲でのシュレディンガー方程式は \begin{align*} -\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{d^2\psi(x)}{dx^2}&=E\psi(x)\nonumber\\ &\therefore \dfrac{d^2\psi(x)}{dx^2}=-\dfrac{2mE}{\hbar^2}\psi(x) \end{align*} これは2階線形常微分方程式、単振動と同じ方程式なので簡単に解くことができます。 \begin{align} \psi(x)=A\cos{\left(\dfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x\right)}+B\sin{\left(\dfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x\right)} & \ \ \ (0\lt x\lt d) \label{eq-quantum5:2} \end{align} ポテンシャル無限大の領域 この領域ではポテンシャルが無限大で粒子が入り込むことができません。つまり存在確率は0です。つまり、確率密度関数を表す$|\psi(x)|^2$は0、つまり波動関数自身も0ということになります。

ハミルトニアンとは? 解析力学の記事 では全エネルギーとしても紹介しました。今回はこれを演算子にして話を進めます。 シュレディンガー方程式中に出てくる全エネルギー 以下の1次元の時間に依存しないシュレディンガー方程式 \begin{align*}\left\{-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+V(x)\right\}\varphi(x)=E\varphi(x)\end{align*} を考えます。 この左辺の{}の中の複雑な式、これを,$H$を使って, \begin{align*}\hat{H}=-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+V(x)\end{align*} これを ハミルトン演算子（ハミルトニアン） といいます. 　あくまで演算子です（微分のみで作用先が指定されていません）　そのことを強調するために$H$にハットをつけています.(つけなくても 通じます.) つまり、シュレディンガー方程式は簡単に \begin{align*}\hat{H}\varphi=E\varphi\end{align*} とかけます。 物理量の演算子化をする 演算子 運動量とエネルギーは以下のように対応しています。 \begin{align*} \hat{p}&=-i\hbar\nabla \\ \hat{E}&=i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t} \end{align*} ただし、エネルギー固有値は時間に依存する場合のみで、時間に依存しない場合には上で紹介したハミルトニアン演算子です。 これは線形代数で習った話なのですが、行列$A$に対して、固有ベクトル$\boldsymbol{v}$、固有値$\lambda$とすれば、 \begin{align*}A\boldsymbol{v}=\lambda \boldsymbol{v}\end{align*} という話がありました。(つまり、$\boldsymbol{v}$に行列$A$を作用させると定数倍になるということ) これと同じ状況

シュレディンガー方程式を変数分離する シュレディンガー方程式を時間と座標に分けられたら方程式を解くのが少しは楽になりそうですね。というわけで、変数分離という方法で計算を進めてみます。 時間に依存しないシュレディンガー方程式とは？ 時間に依存しないシュレディンガー方程式 \begin{align*} \left\{-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}+V(\boldsymbol{r})\right\}\varphi(\boldsymbol{r})=E\varphi (\boldsymbol{r}) \end{align*} さて、この方程式はもちろん前回までに紹介したシュレディンガー方程式(区別するために時間に依存するシュレディンガー方程式という場合もあります)をもとにしています。 シュレディンガー方程式を変数分離する 自由粒子のシュレディンガー方程式の解の形を仮定する 以下の1次元のシュレディンガー方程式を考えます。ただし、ポテンシャルは簡単のために0としました。 \begin{align*} i\hbar\dfrac{\partial \psi(x,t)}{\partial t}=-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{\partial^{2}\psi(x,t)}{\partial x^{2}} \end{align*} この方程式を考えることにします。 偏微分方程式を変数分離して解くには仮定が必要ですね。 こんなふうに書けると仮定してみます。 変数分離法の重要な仮定 \begin{align*} \psi(x,t)=\varphi(x)T(t) \end{align*} ただし、両関数が恒等的に0になる場合は波動関数として意味をなさないので除きます。 この式を代入して計算してみましょう。 以下、偏微分という計算は、変数が分かれていて、常微分と同じように計算できるので記号は常微分に戻します。 左辺について \begin{align*} i\hbar \varphi(x)\dfrac{dT(t)}{dt}=-\dfrac{\hbar^{2}T(t)}{2m}\dfrac{d^{2}\varphi(x)}{dx^{2}}

シュレディンガー方程式を導出する シュレディンガー方程式の導出をします。ただ、シュレディンガー方程式はあくまで原理みたいなもので、なぜ成り立つかというのは説明できません。ただし実験的には正しいということが確かめられています。 今回の導出ではあくまでどうやってシュレディンガー方程式を思いついたかということを説明するだけです。 まず、 光の二重性 という考え方を用います。波動としての性質を持ち、粒子としての性質も持つのでしたね。 ド・ブロイ波長～すべての物体は波として振動している? すべての物体は以下のような波長で振動していると考えることができました。 ド・ブロイ波長 運動量$p=mv$，プランク定数$h$、波長$\lambda$について \begin{align*} \lambda=\dfrac{h}{p}=\dfrac{h}{mv} \end{align*} すべての物体はこの波長で振動していることになります。 アインシュタインが提唱した光量子説とは? 光量子説 光を構成しているのは粒子(光子)として以下のエネルギーをもつ。 \begin{align*}E=h\nu=\hbar\omega\end{align*} 今回扱っているのは光子とは限りませんが，この式をもとにすることにします。粒子性に着目すると以上のような性質があります。 波動として考える いきなり3次元で計算しようとするとベクトル解析の知識も必要となり計算もかなりしんどいので、ここでは一次元で考えます。 まずは波を正弦波として考えますが、これをオイラーの公式を使って書き直すことにします。 波数と角振動数の定義 波数$k$と角振動数$\omega$の定義 振動数$\nu$と波長$\lambda$に対して \begin{align*} \omega=2\pi \nu, k=\dfrac{2\pi}{\lambda} \end{align*} 一次元で$x$の正の方向に伝わる波は、$\sin{(kx-\omega t)}$と$\cos{(kx-\omega t)}$の重ね合わせで、定数$C_{1},C_{2}$を用いて、 \be

シュレディンガー方程式とは シュレディンガー方程式というのは量子力学の基本方程式です。虚数単位が入っていたりと変わった式です。波動関数というものが導入されますが、この意味について説明します。 シュレディンガー方程式の形 (時間に依存する)シュレディンガー方程式 ポテンシャル$V$,虚数単位$i$,ディラック定数$\hbar$$=$$h$/$2\pi$,波動関数$\psi$について \begin{align*}i\hbar \dfrac{\partial \psi(\boldsymbol{r})}{\partial t}=\left\{-\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}+V(\boldsymbol{r})\right\}\psi(\boldsymbol{r})\end{align*} 逆三角形みたいな記号$\nabla$は「ナブラ」と読む、微分演算子です。(詳しくはベクトル解析で習います) あくまで微分演算子なので正確には数ではないのですが、あたかも数のように表されています。ナブラの二乗は表記の都合上そう表されているだけで本来はベクトルの内積であらわされます。つまり、 ラプラス演算子$\Delta$ \begin{align*} \nabla^2=\Delta=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}\end{align*} ということです、$\Delta$のことをラプラス演算子と呼びます． 波動関数とは？波動関数の持つ意味 波動関数とは，一般には 確率波 といわれています。 かりに、一個の粒子をどこかに投げてしまうとします。 でも、投げてしまった粒子は消えてしまうわけでもなく、ありとあらゆる場所を探せば、一個の粒子が見つかるはずです。 そこで、ある点で粒子が見いだされる確率$|\psi(\boldsymbol{r})|^{2}d\boldsymbol{r}$が粒子の存在確率としています。 波動関数$\psi(\boldsymbol{r})$自身は抽象的に概念になっています。 波動関数の規格化