フーリエ解析① フーリエ級数展開
フーリエ級数展開とは?
フーリエ級数展開の公式
まず、関数$f(x)$が周期$2\pi$のフーリエ級数展開は以下のように書けます。\begin{align*}
f(x)&=\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left(a_n \cos{nx}+b_n \sin{nx}\right)\\
a_n&=\displaystyle \dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos{nx}dx\\
b_n&=\displaystyle \dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin{nx}dx
\end{align*}
ただし、必ずしも収束するとは限らないことに注意してください。ここで気になるのは係数がなぜこのような形で書けるのかだと思います。そのことについて解説します。
関数の内積と直交性
区間$[-\pi,\pi]$で定義された関数$f(x),g(x)$の内積を以下のように定義することにします。
\begin{align*}\left(f(x),g(x)\right)\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x)dx\end{align*}
関数の内積の定義はその分野などによって定義の仕方が多少異なることがあるのであまり気にしないでください。ところで、今回は三角関数の話がメインなので三角関数について内積を調べてみましょう。たとえば、自然数$m,n(m\ne n)$について、
\begin{align*}
&\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\sin{mx}\sin{nx}dx\\&=\dfrac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\cos{\dfrac{m-n}{2}x}-\cos{\dfrac{m+n}{2}x}\right)dx\\&=0\\ \\
&\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\sin{mx}\cos{nx}dx\\&=\dfrac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\sin{\dfrac{m+n}{2}x}+\sin{\dfrac{m-n}{2}x}\right)dx\\&=0\\ \\
&\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\cos{mx}\cos{nx}dx\\&=\dfrac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\cos{\dfrac{m+n}{2}x}+\cos{\dfrac{m-n}{2}x}\right)dx\\&=0\end{align*}
ところで、$m=n$のときはどうでしょうか。
\begin{align*}
&\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\sin{mx}\cos{mx}dx\\&=\dfrac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\sin{2mx}dx\\&=0\\ \\
&\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\sin{mx}\sin{mx}dx\\&=\dfrac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\dfrac{1-\cos{2mx}}{2}dx\\&=\pi\\ \\
&\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\cos{mx}\cos{mx}dx\\&=\dfrac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\dfrac{1+\cos{2mx}}{2}dx\\&=\pi
\end{align*}
となります。つまり、同じ三角関数のときだけ内積が$\pi$、そのほかは0になることがわかります。係数を$\pi$で割る意味
正規性とは、大きさが1であることを言います。たとえば、ベクトルの大きさを求めるときは内積の正の平方根を取ったと思いますが、それと同様です。関数の場合は大きさの概念を一般化してノルムと呼びますが、このノルムを、\begin{align*}||f(x)||\overset{\text{def}}{=}\sqrt{(f(x),f(x))}\end{align*}
と、定義します。このようにすると、三角関数のノルムは$\pi$となってしまいます。ここで、三角関数をフーリエ級数展開しても係数が変わってしまわないようにするには、係数は内積を$\pi$で割ったものである必要があります。