フーリエ解析② 一般周期への拡張
フーリエ展開を一般周期に拡張できないか？
\begin{align*}
f(x)&=\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos{nx}+b_n\cos{nx}\right)\\
a_n&=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos{nx}dx\\
b_n&=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin{nx}dx
\end{align*}
と展開できることを紹介しました(収束性の話は置いておきます)。この展開には大きな制約があります。それは周期が$2\pi$に限られていることです。そこで、一般の周期に拡大することを考えます。関数$f(x)$が周期$2L$だとします。このとき、積分範囲が$[-\pi,\pi]$では周期の一部だけを含んだり、中途半端な範囲の積分になってマズいので、範囲を$[-L,L]$で積分することを考えます。三角関数の位相ずれを考える
ここで、三角関数についても、この積分範囲$[-L,L]$で、ちょうど周期の整数倍になっていないと困ります。というわけで、三角関数の引数の部分を、 $$\dfrac{n\pi }{L}x$$ と、書き換えることにします。つまり、\begin{align*}
f(x)&\approx\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos{\dfrac{n\pi}{L}x}+b_n\sin{\dfrac{n\pi}{L}x}\right)\\
a_n&=\dfrac{1}{L}\displaystyle \int_{-L}^{L}f(x)\cos{\left(\dfrac{n\pi}{L}x\right)}dx\\
b_n&=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin{\left(\dfrac{n\pi}{L}x\right)}dx
\end{align*}
ということでこれが一般化された周期に対するフーリエ級数展開です。