フーリエ解析③ フーリエ正弦級数 フーリエ余弦級数
フーリエ正弦級数・余弦級数とは?
フーリエ正弦級数の導出・証明
フーリエ正弦級数とは周期$2L$の奇関数$f(x)$に対して、\begin{align*}
f(x)&=\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n \sin{\dfrac{n\pi}{L}x}\\
b_n&=\dfrac{2}{L}\displaystyle \int_{0}^{L}f(x)\sin{\left(\dfrac{n\pi}{L}x\right)}dx\end{align*}
ここで、被積分関数が、奇関数×奇関数で偶関数になることに注意してください。$\cos{}$と$f(x)$の積は奇関数×偶関数で奇関数になるので$[-L,L]$で積分すると0になることがわかります。
フーリエ余弦級数の計算
逆にフーリエ余弦級数とは周期$2L$の偶関数$f(x)$に対して、\begin{align*}
f(x)&=\displaystyle \sum_{n=0}a_n \cos{\dfrac{n\pi}{L}x}\\
a_n&=\dfrac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos{\left(\dfrac{n\pi}{L}x\right)}dx
\end{align*}
これも正弦級数と同様に偶関数か奇関数かを考えればこの係数が容易に導けるでしょう。