常微分方程式② 一階線形微分方程式
一階線形微分方程式の解き方
線形とは?
線形とは、定数倍と和で書けることを言います。 今回の場合は$y$とその微分項$y'$に関して、定数倍と和で書ける($y^{2}$などはない)ということです。 では、以下の微分方程式を考えます。\begin{align*}\dfrac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)\end{align*}
この右辺$q(x)=0$のときを斉次形、それ以外を非斉次形といいます。
ちなみに、斉次形なら変数分離で簡単に解けることになるので非斉次のときを考えます。
解法1 左辺を積の微分公式の形にする方法
\begin{align*}{f(x)g(x)}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\end{align*}
この形に左辺を帰着させることを考えます。
右辺には微分項がひとつあるので、微分して第二項の係数$p(x)$を生み出すような関数を考えます。
答えを言ってしまうと、$\displaystyle e^{\int p(x)dx}$を辺々にかけます。そうすると、
\begin{align*}\displaystyle e^{\int p(x)dx}\dfrac{dy}{dx}+e^{\int p(x)dx}p(x)y=q(x)e^{\int p(x)dx}\end{align*}
ここで、第二項の係数について、
\begin{align*}\dfrac{d}{dx}e^{\int p(x)dx}=p(x)e^{\int p(x)dx}\end{align*}
なので、元の微分方程式の左辺は、
\begin{align*}e^{\int p(x)dx}\dfrac{dy}{dx}+(e^{\int p(x)dx})'y=\dfrac{d}{dx}(e^{\int p(x)dx}y)\end{align*}
となります。つまり、元の微分方程式は、
\begin{align*}\dfrac{d}{dx}(e^{\int p(x)dx}y)=q(x)e^{\int p(x)dx}\end{align*}
と書きなおせることになります。両辺を$x$で積分して、
\begin{align*}e^{\int p(x)dx}y=\displaystyle \int q(x)e^{\int p(x)dx}dx\end{align*}
すなわち、
一階線形微分方程式の公式
\begin{align*}y=\displaystyle e^{-\int p(x)dx} \int q(x)e^{\int p(x)dx}dx\end{align*}
が解となります。注意
$\displaystyle \int q(x)e^{\int p(x)dx}dx$の全体にかかるインテグラルに関しては積分定数も考えねばなりません。しかし、$e$の指数部分は積分定数を考えなくても良いです。(つまり、微分して$p(x)$になるものだったら何でも構いません)一階線形微分方程式の例題を解く
\begin{align*}\dfrac{dy}{dx}+3y=xe^{-3x}\end{align*}
を解きましょう。左辺第二項の係数の原始関数で最も簡単なもの($C=0$としたもの)は、$3x$なので、この式を指数部分に持つ自然対数の底($e^{3x}$を微分方程式の辺々にかけると、
\begin{align*}e^{3x}\dfrac{dy}{dx}+3e^{3x}y=x\end{align*}
左辺に関して積の微分法の公式より、
\begin{align*}\displaystyle \dfrac{dy}{dx}(ye^{3x})=x\end{align*}
両辺を積分することで、
\begin{align*}
\displaystyle ye^{3x}&=\int x\ dx\\&=\dfrac{1}{2}x^{2}+C \\\therefore y&=xe^{-3x}+Ce^{-3x}
\end{align*}
解法2 特殊解を求めて斉次形を足す方法
特殊解というのは、とりあえず微分方程式を満たす関数を積分定数のように動く要素をなしで何でもいいから満たす関数のことを言います。 ここで、たとえば、以下の微分方程式\begin{align*}\dfrac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)\end{align*}
について特殊解$v(x)$が得られたとすると、
\begin{align*}\dfrac{dv(x)}{dx}+p(x)v(x)=q(x)\end{align*}
という式が成り立ちます。また、斉次形の一般解(積分定数のような自由度を含む解)を$u(x)$とすると、
\begin{align*}\dfrac{du(x)}{dx}+p(x)u(x)=0\end{align*}
となります。これを先ほどの$v(x)$の方程式と辺々足すと、
\begin{align*}\dfrac{d(u(x)+v(x))}{dx}+p(x)\{u(x)+v(x)\}=q(x)\end{align*}
ここで、$y=u(x)+v(x)$とすれば、
\begin{align*}\dfrac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)\end{align*}
となります。すなわち、非斉次形の特殊解と斉次形の一般解の和が非斉次形の一般解となります。
もちろん、非斉次形と斉次形の特殊解の和をとっても解になりますが、$n$階微分方程式は$n$回微分することで解を得るので、$n$個の積分定数$C$を解の自由な要素として得るわけです。
つまり、この場合非斉次形の特殊解と斉次形の一般解をとることで積分定数による自由度を1つ含んだ解が得られて、これを一般解とすることができるわけです。
特解を求める解き方
では、先ほどの例題\begin{align*}\dfrac{dy}{dx}+3y=xe^{-3x}\end{align*}
を考えます。まず特解を求めましょう。左辺右辺を比べて、特解はだいだいこんなかんじかな？と予想します。
\begin{align*}v(x)=Axe^{-3x}\end{align*}
これを微分方程式に代入すると、
\begin{align*}
Ae^{-3x}-3Axe^{-3x}+3Axe^{-3x}&=xe^{-3x}\\ \therefore Ae^{-3x}&=xe^{-3x}
\end{align*}
これが恒等的に($x$の値に関係なく)成り立つことはないですね。($A$は定数ですから)
こういう時にどうするか？$x$の次数を増やしたりしてみるとよいです。
というわけで、以下の形の特殊解を考えます。
\begin{align*}v(x)=Ax^{2}e^{-3x}\end{align*}
これをもとの微分方程式に代入すると、
\begin{align*}2Axe^{-3x}-3Ax^{2}e^{-3x}+3Ax^{2}e^{-3x}&=xe^{-3x}\\2Axe^{-3x}&=xe^{-3x}\\ \therefore A&=\dfrac{1}{2}
\end{align*}
こうして特殊解$v(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}e^{-3x}$が求まりました。
次に斉次形解を求めます。斉次形の解は
\begin{align*}\dfrac{dy}{dx}+3y=0\end{align*}
これを解きます。変数分離形なので、
\begin{align*}\dfrac{dy}{y}=-3\ dx\end{align*}
\begin{align*}\displaystyle \int \dfrac{dy}{y}=-\int 3\ dx\end{align*}
\begin{align*}\log{y}=-3x+C\therefore y=e^{-3x+C}=e^{C}e^{-3x}\end{align*}
ここで、$e^{C}$は定数なので、改めてこれを$C$と置きなおして、
\begin{align*}y=Ce^{-3x}\end{align*}
つまり、斉次形の解$u(x)$としてこの式が得られました。
まとめると、特殊解$u(x)$、斉次形の解$v(x)$として
\begin{align*}u(x)Ce^{-3x},v(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}\end{align*}
が得られました。これらの和が一般解となるので和をとると、
\begin{align*}y=\dfrac{1}{2}x^{2}e^{-3x}+Ce^{-3x}\end{align*}
こうして解が求まりました。解法1で求めた答えと同じですね。