常微分方程式⑧ロンスキアン(Wronskian)
ロンスキアンの微分方程式への応用・その意味とは
\begin{align*}
W(x)=
\begin{pmatrix}
\psi_1(x) & \psi_2 & \cdots & \psi_n(x)\\
\psi_1^\prime & \psi_2^\prime &\cdots & \psi_n^\prime(x)\\
\vdots & \vdots &\cdots &\vdots\\
\psi_1^{(n)}(x) & \psi_2^{(n)}(x) & \cdots & \psi_n^{(n)}(x)
\end{pmatrix}
\end{align*}
とおいて、この行列式$\det{W(x)}$をロンスキアンといいます。
線形微分方程式について、あまり線形独立(一次独立)の話については言及しませんでしたが、たとえば定係数の斉次形の一階線形微分方程式であれば、1つの線形独立の関数が答えになったわけです。
同様に、二階定係数線形微分方程式であれば二つの線形独立解が得られます。
つまり、裏を返せば、定係数の$n$階の線形微分方程式では、$n$個の線形独立解を得られれば、その定数倍の和が解となります。
この判別するための道具がロンスキアンなわけです。
関数系$\{\psi_1(x),\psi(x),\cdots ,\psi_n(x)\}$を考えましょう。このロンスキー行列$W(x)$は、
\begin{align*}
W(x)=
\begin{pmatrix}
\psi_1(x) & \psi_2 & \cdots & \psi_n(x)\\
\psi_1^\prime & \psi_2^\prime &\cdots & \psi_n^\prime(x)\\
\vdots & \vdots &\cdots &\vdots\\
\psi_1^{(n)}(x) & \psi_2^{(n)}(x) & \cdots & \psi_n^{(n)}(x)
\end{pmatrix}
\end{align*}
という最初に示した式のようになります。ここで、このロンスキアンをなす関数系が線形独立であれば$\det{W(x)}\ne 0$となります。例題
\begin{align*}
y^{\prime\prime}-2y^\prime-3y=0
\end{align*}
この解は、特性方程式$\lambda^2-2\lambda-3=(\lambda-3)(\lambda+1)=0$を解いて$\lambda=-1,3$なので、
\begin{align*}
y=C_1 e^{3x}+C_2 e^{-x}
\end{align*}
となります。ここで、定数部分を考えないことにすれば、$e^{-x}$と$e^{3x}$が解をなしていることになります。つまり、このとき、
\begin{align*}W(x)=
\begin{pmatrix}
e^{-x}& e^{3x}\\
-e^{-x} & 3e^{3x}
\end{pmatrix}\end{align*}
とおくとこの行列式は、サラスの方法で簡単に計算できて、
\begin{align*}
\det{W(x)}
&=3e^{-x}e^{3x}-(-e^{3x}e^{-x})\\
&=2e^{2x}
\ne 0
\end{align*}
となり、これで線形独立な関数が二つ得られたことになります。