複素解析② 複素積分:コーシーの積分定理で積分経路を変更する
コーシーの積分定理の証明と応用 今回複素解析で最も重要な概念、 複素積分、コーシーの積分定理 を扱います。 複素積分(複素線積分)の計算方法 複素平面を考えます。この平面上の閉曲線$C$について、$z$がパラメータ$\theta$で表されているとき、 \begin{align*}\int_{C}f(z)dz=\int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} f(z(\theta))\dfrac{dz}{d\theta}d\theta\end{align*} と計算できます。ここで、インテグラルに〇をつけると、閉曲線に沿って一周分線積分するというしるしになります。 例えば、 \begin{align*}f(z)=\dfrac{1}{z}\end{align*} を経路$|z|=1$に沿って積分することを考えます。$|z|=1$というのは \begin{align*}z=e^{i\theta}\ (0\leq \theta \lt 2\pi)\end{align*} と表せるので、 \begin{align*}\dfrac{dz}{d\theta}=ie^{i\theta}\end{align*} となり、複素積分(複素線積分)は、 \begin{align*}\displaystyle \oint_{C}\dfrac{1}{z}dz=\int_{0}^{2\pi}\dfrac{1}{e^{i\theta}}ie^{i\theta}d\theta=i\int_{0}^{2\pi}d\theta =2\pi i\end{align*} となります。 グリーンの定理による証明 曲線$C$とその内部で正則な複素関数$f(z)$ を考えます。このとき、 \begin{align*}\displaystyle \oint_{C}f(z)dz=0\end{align*} が成り立ちます。これを証明してみます 複素関数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\ $($u,v$は実数値関数)$が曲線$C$とその内部で正則だとします。$dz=dx+idy$と表せるので、 \begin{align*}\displaystyle \oint_{C}f(z)dz=\oint_{C}\{u(x,y)+iv(x,y)\}(dx